Dažādi Pitagora teorēmas pierādīšanas veidi: piemēri, apraksts un pārskati
Vienā jūs varat būt pārliecināti par visuprocentos, ka jautājums par to, kāds ir hipotenūza kvadrāts, ir vienāds, jebkura pieaugušā persona uzdrošinās atbildēt: "Kāju kvadrātu summa". Šī teorēma ir stingri nostiprinājusies katras izglītota cilvēka prātos, taču pietiek ar to, lai lūgt kādu to pierādīt, un var rasties grūtības. Tāpēc atcerēsimies un apsverim dažādus veidus, kā pierādīt Pjēgoras teorēmu.
Īss biogrāfijas pārskats
Pitagora teorēma ir pazīstama gandrīz ikvienam, betkāda iemesla dēļ tā radītā cilvēka biogrāfija nav tik populāra. Tas ir iespējams novērst. Tāpēc, pirms pētīt dažādus Pitagora teorēmas pierādīšanas veidus, ir īsi jāapzinās viņa personība.
Pitagors - filosofs, matemātiķis, domātājs sākotnēji noSenā Grieķija. Šodien ir ļoti grūti atšķirt viņa biogrāfiju no leģendām, kas izveidojušās šī lieliskā cilvēka atmiņā. Bet, kā izriet no viņa sekotāju rakstiem, Samosas Pitagors ir dzimis Samos salā. Viņa tēvs bija kopējs akmens griezējs, bet viņa māte nāca no cildenīgas ģimenes.
Saskaņā ar leģendu, dzimšanas Pitagorsparedzēja sievieti ar nosaukumu Pythia, kuras vārdā viņi sauca zēnu. Saskaņā ar viņas prognozēm, piedzimušajam zēnam bija jārada daudz labumu un labumu cilvēcei. Ko viņš patiesībā darīja.
Teorēmas dzimšana
Jaunībā Pitagors pārcēlās no Samosas salas uzĒģipti, lai tiktos ar slavenajiem Ēģiptes gudrie. Pēc tikšanās ar tiem, viņš tika uzņemts mācībām, un zināja, kur visi lielie sasniegumi Ēģiptes filozofijas, matemātikas un medicīnā.
Iespējams, Ēģiptē tas bija iedvesmots Pitagorsmajestātiskums un piramīdu skaistums un radījis savu lielisko teoriju. Tas var šokēt lasītājus, taču mūsdienu vēsturnieki uzskata, ka Pitagors neuzrādīja viņa teoriju. Viņš nodod savas zināšanas tikai sekotājiem, kuri vēlāk izpildīja visus nepieciešamos matemātiskos aprēķinus.
Neatkarīgi no tā bija, šodien ir zināms, ka viensŠī teorēmas pierādījuma metode, bet vairākas. Šodien mēs varam tikai uzminēt, kā tieši senie grieķi veikuši savus aprēķinus, tāpēc šeit mēs aplūkojam dažādus veidus, kā pierādīt Pitagora teorēmu.
Pitagora teorēma
Pirms sākat aprēķinu, jums ir nepieciešams, lai uzzinātu, kas teorija pierādīt. Pitagora teorēma ir: "In trīsstūris, kurā viens no stūriem ir 90o, kāju kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūza kvadrātu. "
Pavisam ir 15 dažādi veidi, kā pierādīt Pitagora teorēmu. Tas ir diezgan liels skaitlis, tāpēc pievērsim uzmanību populārākajiem no tiem.
Pirmā metode
Vispirms apzīmēsim to, kas mums tiek dots. Šie dati tiks paplašināta uz citām metodēm pierādījumu Pitagora teorēmas, tāpēc tas ir labi atcerēties visus esošos nosaukumus.
Pieņemsim, ka taisnstūrveida trīsstūris ar kājām a, b un hypotenuse ir vienāds ar c. Pirmais pierādīšanas veids ir balstīts uz faktu, ka taisnstūrī jāizdara kvadrāts.
Lai to izdarītu, jums ir nepieciešams garums aizveidojiet segmentu, kas atbilst katetātei, un otrādi. Tam vajadzētu radīt divas vienādas kvadrātveida puses. Atliek tikai izdarīt divas paralēlas taisnās līnijas, un kvadrāts ir gatavs.
Iegūtais skaitlis ir nepieciešams izdarīt vairākviens kvadrāts ar pusi, kas vienāds ar sākotnējā trijstūra hipotenusu. Lai to paveiktu, no virsotnēm ac un st jābūt izdarīt diviem paralēliem segmentiem ar vienādu c. Tādējādi mēs iegūstam trīs laukuma malas, no kurām viena ir oriģinālā taisnstūra trijstūra hipotenoze. Tas paliek tikai subsidēt ceturto segmentu.
Pamatojoties uz iegūto skaitli, mēs varam secināt, ka ārējā laukuma laukums ir (a + b)2. Ja paskatāsi skaitā, var redzēt, ka papildus iekšējam kvadrātam tajā ir četri taisnstūrveida trīsstūri. Katra platība ir 0,5aV.
Tādēļ platība ir: 4 * 0.5aв + с2= 2ав + с2
Tādējādi (a + b)2= 2ав + с2
Un, attiecīgi, ar2= a2+ collas2
Teorēma ir pierādīta.
2. metode: līdzīgi trijstūri
Šī formula Pythagoras teorēmas pierādīšanaitika iegūts, pamatojoties uz paziņojumu no ģeometrijas sadaļā par līdzīgiem trijstūriem. Tajā teikts, ka labā trijstūra katetāte ir vidēji proporcionāla tās hipotenūza daļai un hipotenūza segmentam, kas izdalās no stūra 90 virsotneso.
Sākotnējie dati paliek nemainīgi, tāpēc mēs nekavējoties sāksim ar pierādījumu. Mēs noliekam SD perpendikulāri AB sānu segmentam. Pamatojoties uz iepriekš minēto paziņojumu, trīsstūra kājas ir šādas:
AC = √AB * AD, CB = √AB * DV.
Lai atbildētu uz jautājumu par to, kā pierādīt Pythagorean teorēmu, pierādījums jāveido, noapaļojot abas nevienādības.
AC2= AB * AD un CB2= AB * DV
Tagad mums jāpalielina radītās nevienlīdzības.
AC2+ CB2= AB * (АД * ДВ), kur АД + ДВ = АВ
Izrādās, ka:
AC2+ CB2= AB * AB
Un, attiecīgi:
AC2+ CB2= AB2
Pierādījums par Pythagorean teorēmu un dažādas metodes to risināšanai prasa daudzpusīgu pieeju šai problēmai. Tomēr šī iespēja ir viena no vienkāršākajām.
Vēl viena aprēķina metode
Dažādu teorēmas pierādīšanas veidu aprakstsPitagors nespēj kaut ko teikt, kamēr jūs pats neiesniedzat praksi. Daudzas metodes nodrošina ne tikai matemātiskos aprēķinus, bet arī jaunu figūru uzbūvi no sākotnējā trijstūra.
Šajā gadījumā no BC jāpabeidz vēl viens VSD taisnstūra trijstūris. Tādējādi tagad ir divi trīsstūra ar kopīgu kāju BC.
Zinot, ka līdzīgu skaitļu apgabaliem ir tāda proporcija kā līdzīgu lineāro izmēru laukumiem, tad:
Savs * ar2- Savd* in2 = Savd* a2- Suz augšu* a2
Savs* (s2in2) = a2* (Savd-Suz augšu)
ar2in2= a2
ar2= a2+ collas2
Tā kā no dažādām metodēm, kas apliecina Pitagoru teorēmu 8. Pakāpē, šis variants ir gandrīz neiespējams, var izmantot šādu procedūru.
Vienkāršākais veids, kā pierādīt Pythagoras teorēmu. Atsauksmes
Kā uzskata vēsturnieki, šī metode bija pirmā reizeizmantots, lai pierādītu teorēmu pat senajā Grieķijā. Tas ir vienkāršākais, jo tas neprasa nekādus aprēķinus. Ja zīmējums ir uzzīmēts pareizi, tad apgalvojuma, ka a2+ collas2= s2 , tiks skaidri redzams.
Šīs metodes nosacījumi nedaudz atšķiras no iepriekšējās. Lai pierādītu teorēmu, pieņemsim, ka labais trijstūris ABC ir vienādsānu trijstūris.
Mēs ņemam hipotenūzi AS kvadrātveida pusē unmeitas trīs no tās puses. Turklāt iegūtajā kvadrātā ir jāizdala divas diagonāles. Tātad, lai tajā iekļautu četrus vienādainos trīsstūrus.
Uz kājām AB un CB jums arī ir jābūt bērnam kvadrātā un katrā no tiem jāizdala viena diagonālā līnija. Pirmā rinda ir veidota no virsotnes A, otra līnija ir no C.
Tagad jums ir nepieciešams rūpīgi aplūkot iegūto zīmējumu. Tā kā AS Hypotenuse ir četri trijstūri, kas ir vienādi ar oriģinālo trijstūri, un uz divām kājām, tas norāda uz teorēmas patiesumu.
Starp citu, pateicoties šai Pitagora teorēmas pierādīšanas metodei, parādījās slavenā frāze: "Pitagoru bikses ir vienādi visos virzienos".
G. Garfīlda pierādījums
James Garfield ir divdesmitais Amerikas Savienoto Valstu prezidents. Turklāt viņš atstāja savu zīmi vēsturē kā Amerikas Savienoto Valstu valdnieks, viņš bija arī apdāvināts pašmācīts.
Savas karjeras sākumā viņš bija parastsskolotājs valsts skolā, bet drīz kļuva par vienas augstākās izglītības iestādes direktoru. Pašattīstības vēlme ļāva viņam piedāvāt jaunu teoriju par pihagoras teorēmas pierādījumu. Teorēma un tā šķīduma piemērs ir šādi.
Vispirms jums jāpiespiež papīra lapas divitaisnstūra trīsstūris tādā veidā, ka viena no tām ir otrā turpinājums. Šo trijstūru virsotnes ir jāpiesaista, lai galu galā izrādās trapezija.
Kā zināms, trapeces laukums ir vienāds ar tā pamatnes pusi summu līdz augstumam.
S = a + b / 2 * (a + b)
Ja mēs uzskatām, ka iegūto trapecveida, kā skaitlis, kas sastāv no trim trijstūriem, tā platība var atrast šādi:
S = av / 2 * 2 + s2/ 2
Tagad ir nepieciešams izlīdzināt divas sākotnējās izteiksmes
2ав / 2 + с / 2 = (а + в)2/ 2
ar2= a2+ collas2
Pitagora teorēmu un tā pierādīšanas metodēm var rakstīt ne tikai viena mācību grāmatas apjoms. Bet vai tajā ir jēga, ja šīs zināšanas praksē nevar pielietot?
Pitagoriešu teorēmas praktiskais pielietojums
Diemžēl mūsdienu skolu mācību programmāsIr paredzēts izmantot šo teorēmu tikai ģeometriskām problēmām. Absolventi drīz pamet skolu sienas, nezinot, kā viņi var praktiski pielietot savas zināšanas un prasmes.
Patiesībā, lai izmantotu Pythagorean teorēmuIkviens var darīt savu ikdienas. Un ne tikai profesionālajā darbā, bet arī parastajās iekšējās lietās. Ļaujiet mums apsvērt vairākus gadījumus, kad Pitagoras teorēma un tā pierādīšanas metodes var izrādīties ārkārtīgi nepieciešamas.
Saikne starp teorēmu un astronomiju
Šķiet, kā zvaigznes un trijstūri var savienot uz papīra. Faktiski astronomija ir zinātnes joma, kurā plaši tiek izmantota Pfagora teorēma.
Piemēram, apsveriet gaismas staru kustību kosmosā. Ir zināms, ka gaisma kustās abos virzienos ar tādu pašu ātrumu. Tiek izsaukta trajektorija AB, kas pārvieto gaismas staru l. Un pusi no brīža, kad gaismai vajadzētu no punkta A uz punktu B, mēs to saucam t. Un gaismas ātrums - c. Izrādās, ka: c * t = l
Ja mēs skatāmies uz šo staru no citaplakne, piemēram, no ārējā sloksnēm, kas pārvietojas ar ātrumu v, tad ar šo novērojumu iestādes mainīt savu ātrumu. Šajā gadījumā pat fiksētie elementi pārvietojas ar ātrumu v pretējā virzienā.
Pieņemsim, ka komiksu līnijpārvadātāji peld pa labi. Tad punkti A un B, starp kuriem staru steidzas, pārvietosies pa kreisi. Turklāt, kad gaismas pārvietojas no punkta A uz punktu B, norāda laiku, lai pārvietotos, un, attiecīgi, gaisma ir nonākusi jaunā C. punkts, lai atrastu pusi attālumu, kurā A punktā ir pārvietots, tas ir nepieciešams, lai reizināt ātrumu kuģa pusi stara ceļojuma laikā (t ")
d = t "* v
Lai noskaidrotu, cik tālu šajā laikā var nokļūt gaismas stars, ir jānosaka puse no jaunā dižskābājas ceļa un jāsaņem šāda izteiksme:
s = c * t "
Ja mēs iedomājamies, ka gaismas punkti C un B, kā arīatstarpe ir taisnstūra taisnstūra trīsstūris, tad segments no punkta A uz līnijpārvadātāju sadalīs to divos taisnstūrveida trijstūros. Tāpēc, pateicoties piktagoriešu teorēmai, var atrast attālumu, kādā var nokļūt gaismas stars.
s2 = l2 + d2
Šis piemērs ir, protams, nav labākais, jo tikai daži var būt paveicies izmēģināt to praksē. Tāpēc mēs uzskatām, ka vairāk ikdienišķa pieteikumus šajā teorēmu.
Mobilā signāla pārraides rādiuss
Mūsdienu dzīvi nav iespējams iedomāties bez viedtālruņu pastāvēšanas. Bet cik tas viņiem būtu nepieciešams, ja viņi nevarētu pieslēgt abonentiem, izmantojot mobilo sakaru pakalpojumus ?!
Mobilo sakaru kvalitāte ir tieši atkarīga noMobilā operatora antenas augstums. Lai aprēķinātu attālumu no mobilā torņa, tālrunis var saņemt signālu, jūs varat piemērot Pitagrisko teorēmu.
Pieņemsim, ka mums jāatrod stacionārā torņa aptuvenais augstums, lai tas varētu pavairot signālu 200 kilometru rādiusā.
AB (torņa augstums) = x;
BC (signāla pārraides rādiuss) = 200 km;
OS (globusa rādiuss) = 6380 km;
No šejienes
OB = OA + ABOV = r + x
Piemērojot Pythagoras teorēmu, mēs uzzināsim, ka torņa minimālais augstums ir 2,3 kilometri.
Pitagora teorēma ikdienas dzīvē
Kā tas šķita dīvaini, var secināt, ka Pitagoru teorēma var būtpiemēram, mēbeļu skapja augstuma noteikšana. No pirmā acu uzmetiena nav nepieciešams izmantot šādus sarežģītus aprēķinus, jo jūs varat vienkārši veikt mērījumus, izmantojot ruletes. Bet daudzi vēlas uzzināt, kāpēc montāžas procesā ir noteiktas problēmas, ja visi mērījumi tiek veikti vairāk nekā precīzi.
Fakts ir tāds, ka skapis ir salikts iekšāhorizontālā stāvoklī un tikai pēc tam pacelas un stiprina pie sienas. Tāpēc korpusa sānu malai konstrukcijas celšanas laikā brīvi jāpārnēsā gan telpas augstums, gan diagonāli.
Pieņemsim, ka ir skapis ar dziļumu 800 mm. Attālums no grīdas līdz griestiem ir 2600 mm. Pieredzējis mēbeļu ražotājs sacīs, ka korpusa augstumam jābūt par 126 mm mazākam nekā telpas augstumam. Bet kāpēc par 126 mm? Apsveriet piemēru.
Ļaujiet mums pārbaudīt Pitagoras teorēmas efektu ideālos korpusa izmēros:
AC = √ AB2+ √BC2
AC = √24742+8002= 2600 mm - viss tuvojas.
Pieņemsim, ka skapja augstums nav 2474 mm, bet 2505 mm. Tad:
AC = √ 25052+ √8002= 2629 mm.
Tāpēc šī korpuss nav piemērots uzstādīšanai šajā telpā. Kā tad, ja pacelšanas to vertikālā stāvoklī, jūs varat sabojāt ķermeni.
Varbūt, ņemot vērā dažādas pierādīšanas metodesDažādu zinātnieku teorēma par pihagoru, mēs varam secināt, ka tā ir vairāk nekā patiesa. Tagad jūs varat izmantot informāciju, kas saņemta jūsu ikdienas dzīvē, un būt pilnīgi pārliecinātai, ka visi aprēķini būs ne tikai noderīgi, bet arī patiesi.
