Nenoteiktais integrālis. Nenoteikto integrāļu aprēķins
Viena no pamata sadaļām matemātiskoanalīze ir neatņemams aprēķins. Tas aptver visplašāko objektu lauku, kur pirmais ir nenoteikts integrālis. Lai to nostādītu, tas ir galvenais, ka pat vidusskolā tas atklāj aizvien vairāk perspektīvu un iespēju, ko apraksta augstākā matemātika.
Izskats
No pirmā acu uzmetiena integrālis šķiet neiespējamimoderna, atbilstoša, bet praksē izrādās, ka tas parādījās 1800. gadā pirms Kristus. Tēvzemei oficiāli tiek uzskatīts, ka tas ir Ēģipte, jo mēs nesaņēmām agrākus pierādījumus par tā pastāvēšanu. Viņš, informācijas trūkuma dēļ, visu šo laiku novietoja vienīgi kā parādība. Viņš atkal apstiprināja zinātnes attīstības līmeni starp šo laikmetu tautām. Visbeidzot tika atrasti darbi seno grieķu matemātiķu 4. gadsimtā pirms mūsu ēras. Viņi aprakstīja metodi, kurā tika izmantots nenoteikts integrālis, kura būtība bija atrast līkilinumerā attēla tilpumu vai laukumu (attiecīgi trīsdimensiju un divdimensiju plaknes). Aprēķina princips tika balstīts uz to, ka sākotnējais skaitlis tika sadalīts infinitāziskajās daļās, ar nosacījumu, ka to apjoms (laukums) jau ir zināms. Laika gaitā šī metode auga, un Archimedes to izmantoja, lai atrastu parabola platību. Analogus aprēķinus tajā pašā laikā veica zinātnieki senajā Ķīnā, turklāt viņi bija pilnīgi neatkarīgi no zinātnes grieķu brāļiem.
Attīstība
Nākamais sasniegums 11. gadsimtā ir jau mūsu laikmeta laikmetsdarbs arābu zinātnieks "vagons" Abu Ali al-Basri, kurš uzstāja robežas jau zināms, tika iegūti no neatņemamu formulas, lai aprēķinātu summas par summām un grādiem no pirmās līdz ceturtais, izmantojot šo mēs zinām metodi matemātiskās indukcijas.
Modernitātes prātos apbrīno seno stiluĒģiptieši radīja pārsteidzošus arhitektūras pieminekļus, bez jebkādiem īpašiem pielāgojumiem, izņemot, iespējams, viņu pašu rokās, bet nav tā laika zinātnieku prātu spēks, ne mazāk brīnums? Salīdzinājumā ar pašreizējiem laikiem viņu dzīve šķiet gandrīz primitīva, bet neierobežotu integrāļu risinājums tika iegūts visur un to praktiski izmantoja tālākai attīstībai.
Nākamais solis notika XVI gs., KadItālijas matemātiķis Cavalieri secināja nedalāmās metodes, ko pacēla Pierre Fermat. Tieši šīs divas personas, kas šobrīd ir pazīstami, ir pamats mūsdienu integrālajam aprēķinam. Tie sasaistīja diferenciācijas un integrācijas jēdzienus, kas agrāk tika uztverti kā autonomas vienības. Kopumā šo laikmetu matemātika bija sadrumstalota, secinājumu daļiņas pastāvēja atsevišķi, un tām bija ierobežota piemērošanas joma. Unifikācijas ceļš un kopīgu meklējumu meklēšana bija vienīgais pareizais brīdī, pateicoties tam, mūsdienu matemātiskā analīze spēja augt un attīstīties.
Laika gaitā viss mainījās un apzīmējumsneatņemama, ieskaitot. Kopumā to apzīmēja zinātnieki, kas, piemēram, Ņūtona izmantoja kvadrātveida ikonu, kurā viņš ievietoja integrējamu funkciju vai vienkārši ievietoja to blakus.
Formāla definīcija
Nenoteiktais integrālis tieši atkarīgs no antidepresīvās vielas definīcijas, tāpēc vispirms to apsveriet.
Primitīva ir apgriezta funkcijaatvasinājums, praksē to sauc arī par primitīvu. Citiem vārdiem: primitīvas funkcija D - ir funkcija D, atvasinājums, kas ir vienāds ar v <=> V "= v Search primitīva ir aprēķināt nenoteiktais integrālis, un pats process tiek saukts integrācija ..
Piemērs:
Funkcija s (y) = y3, un tā pretdivatīvā S (y) = (y4/ 4).
Visu aplūkojamās funkcijas antidepresīvu kopums ir nenoteikts integrālis, tas tiek apzīmēts šādi: ∫v (x) dx.
Tā kā V (x) ir tikai dažisākotnējās funkcijas primitīvam, mums ir izteiksme: ∫v (x) dx = V (x) + C, kur C ir konstante. Patvaļīga konstante tiek saprasta kā jebkura konstante, jo tā atvasinājums ir nulle.
Īpašības
Īpašības, kurām ir nenoteikts integrālis, ir balstītas uz atvasinājumu pamata definīciju un īpašībām.
Apsveriet galvenos punktus:
- primitīva atvasinājuma integrālis pats par sevi ir pretrunīgs plus patvaļīga konstante C <=> ∫V "(x) dx = V (x) + C;
- funkciju integrāla atvasinājums ir sākotnējā funkcija <=> (∫v (x) dx) "= v (x);
- konstanti tiek izņemta no integrētās <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx zīmes, kur k ir patvaļīgs;
- integrāls, kas ir ņemts no pozīciju summu identiski vienāds ar summu integrals <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.
No pēdējām divām īpašībām var secināt, ka nenoteiktais integrālis ir lineārs. Sakarā ar to, mums ir: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.
Fiksēšanai mēs aplūkojam nedzīva integrāļu risinājumu piemērus.
Ir nepieciešams atrast integrālo ∫ (3sinx + 4cosx) dx:
- ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.
No piemēra mēs varam secināt: nezinu, kā atrisināt nenoteiktus integrāļus? Vienkārši atrodiet visus netipiskos! Un šeit ir meklēšanas principi zemāk.
Metodes un piemēri
Lai atrisinātu integrāli, mēs varam izmantot šādas metodes:
- izmantojiet gatavo galdu;
- integrēt pa daļām;
- integrēt, mainot mainīgo;
- subdukcija zem diferenciācijas zīmes.
Tabulas
Vieglākais un patīkamākais veids. Šobrīd matemātiskā analīze var lepoties ar diezgan plašu tabulu, kurā ir paredzētas nenoteikto integrāļu pamatformulas. Citiem vārdiem sakot, ir veidnes, kas tiek atvasinātas pirms jums un jums, bet tikai tos izmantot. Šeit ir saraksts ar galvenajām tabulas pozīcijām, kurām var iegūt gandrīz katru piemēru, kuram ir risinājums:
- ∫0dy = C, kur C - konstante;
- ∫dy = y + C, kur C ir konstante;
- ∫yndy = (yn + 1) / (n + 1) + C, kur C ir konstante, un n ir nulles skaitlis;
- ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, kur C ir konstante;
- ∫eydy = ey + C, kur C ir konstante;
- ∫ kydy = (ky/ ln k) + C, kur C ir konstante;
- ∫cosydy = siny + C, kur C ir konstante;
- ∫sinydy = -cosy + C, kur C ir konstante;
- ∫di / cos2y = tgy + C, kur C ir konstante;
- Ëdy / grin2y = -ctgy + C, kur C ir konstante;
- ∫dy / (1 + y2) = arktgy + C, kur C ir konstante;
- ∫chydy = kautrīgs + C, kur C ir konstante;
- ∫shydy = chy + C, kur C ir konstante.
Ja nepieciešams, veiciet pāris soļus, atveriet apakšējā labo stāvokli uz galda skatu un izbaudiet uzvaru. Piemērs: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x-2) d (5x-2) = 1/5 x sin (5x-2) + C.
Ar lēmumu ir skaidrs, ka tabulas piemērim integrandam nav reizinātāja ar 5. Mēs to pievienojam, reizinot ar 1/5 paralēli, lai vispārējais izteiksme nemainītos.
Integrācija pa daļām
Apsveriet divas funkcijas - z (y) un x (y). Tiem jābūt pastāvīgi atšķirīgiem visā definīcijas jēdzienā. Ar vienu no diferenciācijas īpašībām mums ir: d (xz) = xdz + zdx. Integrējot abas vienādojuma puses, iegūstam: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) => zx = ∫zdx + ∫xdz.
Pārrakstot iegūto vienādojumu, iegūstam formulu, kurā aprakstīta integrācijas metode pa daļām: ∫zdx = zx - ∫xdz.
Kāpēc tas ir vajadzīgs? Tas, ka daži no piemēriem, ir iespējams vienkāršot, teiksim, samazināt ∫zdx ∫xdz, ja tā ir tuvu tabulas veidā. Arī šo formulu var piemērot vairāk nekā vienu reizi, panākot optimālu rezultātu.
Kā šādā veidā atrisināt nenoteiktus integrāļus:
- nepieciešams aprēķināt ∫ (s + 1) e2sds
∫ (x + 1) e2sds = {z = s + 1, dz = ds, y = 1 / 2e2s, dy = e2xds} = ((s + 1) e2s) / 2-1 / 2∫e2sdx = ((s + 1) e2s) / 2-e2s/ 4 + C;
- jums jāaprēķina lnnsds
∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, y = S, dy = ds} = slns - ∫s x ds / S = slns - ∫ds = slns -S + C = S (LNS-1) + C.
Mainīgs mainīgais
Šis neierobežoto integrāļu risināšanas princips navMazāk pieprasīts nekā iepriekšējie divi, lai gan tas ir sarežģītāk. Metode sastāv no šādiem: let V (x) ir atsevišķas funkcijas v (x) integrālis. Gadījumā, ja piemērs ir tā sarežģīts, tā ir lieliska iespēja sajaukt un nonākt nepareizā veidā. Lai to izvairītos, tiek pielietota pāreja no mainīgā lieluma x uz z, kur vispārējā izteiksme tiek vizuāli vienkāršota, saglabājot z atkarību no x.
Matemātiskā izteiksmē, tas ir šāds: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y "(z) dz = V (z) = V (y-1(x)), kur x = y (z) ir permutācija. Un, protams, apgrieztā funkcija z = y-1(x) pilnībā apraksta atkarību unmainīgo lielumu savstarpējā saistība. Svarīgs novērojums ir tas, ka diferenciālā dx obligāti jāaizstāj ar jaunu diferenciāli dz, jo mainīga lieluma nomainīšana nenoteiktajā integrā nozīmē tā aizstāšanu visur, ne tikai integrandā.
Piemērs:
- Ir nepieciešams atrast ∫ (s + 1) / (s2 + 2s - 5) ds
Mēs izmantojam aizvietojumu z = (s + 1) / (s2+ 2s-5). Tad dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. Tā rezultātā iegūstam šādu izteiksmi, kuru ir ļoti viegli aprēķināt:
∫ (s + 1) / (s2+ 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s2+ 2s-5 | + C;
- nepieciešams atrast neatņemamu ∫2sesdx
Risinājumam mēs pārraksta izteicienu šādā formā:
∫2sesds = ∫ (2e)sds
Mēs apzīmējam ar a = 2e (aizvietojot argumentu, šis solis nav, tas joprojām ir s), mēs, no pirmā acu uzmetiena, dodam kompleksu integrālu elementārās tabulas formā:
∫ (2e)sds = ∫asds = as / lna + C = (2e)s / ln (2e) + C = 2ses / ln (2 + lne) + C = 2ses / (ln2 + 1) + C.
Zīmējums zem diferenciācijas zīmes
Kopumā šī nenoteikto integrāļu metode ir mainīgā aizvietošanas principa dvīņu brālis, taču dizaina procesā pastāv atšķirības. Apskatīsim sīkāk.
Ja ∫v (x) dx = V (x) + C un y = z (x), tad ∫v (y) dy = V (y) + C.
Tajā pašā laikā nevajadzētu aizmirst nebūtiskas neatņemamas pārmaiņas, starp kurām:
- dx = d (x + a), kur a ir jebkura konstante;
- dx = (1 / a) d (ax + b), kur a atkal ir konstante, bet nav vienāda ar nulli;
- xdx = 1 / 2d (x2 + b);
- sinxdx = -d (cosx);
- cosxdx = d (sinx).
Ja mēs, aprēķinot nenoteiktu integrāli, uzskatu vispārīgo gadījumu, piemērus var apkopot ar vispārīgo formulu w "(x) dx = dw (x).
Piemēri:
- nepieciešams atrast ∫ (2s + 3)2ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)
∫ (2s + 3)2ds = 1 / 2∫ (2s + 3)2d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3)2) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds = ñsins / cossds = d (coss) / coss = -ln | coss | + C.
Tiešsaistes palīdzība
Dažos gadījumos var būt vainīgavai slinkums vai steidzama nepieciešamība, varat izmantot tiešsaistes padomus vai drīzāk izmantot nenoteiktu integrāļu kalkulatoru. Neraugoties uz visu integrāļu acīmredzamo sarežģītību un pretrunām, viņu risinājums ir pakļauts noteiktai algoritmai, kas balstās uz principu "ja nē ... tad ...".
Protams, īpaši sarežģīti piemērikalkulators netiks apgūts, jo ir gadījumi, kad risinājums ir jāuztver mākslīgi, "piespiedu kārtā", ieviešot noteiktus procesa elementus, jo rezultātus nevar sasniegt ar acīmredzamiem līdzekļiem. Neskatoties uz šī apgalvojuma pretrunīgo raksturu, tā ir taisnība, jo matemātika principā ir abstrakta zinātne un uzskata nepieciešamību paplašināt iespēju robežas kā galveno uzdevumu. Patiešām, saskaņā ar vienmērīgām apgāšanās teorijām ir ārkārtīgi grūti virzība uz augšu un attīstīties, tāpēc nevajadzētu uzskatīt, ka piemēri, kā mēs esam devuši nenoteiktos integrāļus, ir iespējamo virkne. Bet atpakaļ uz tehnisko pusi. Vismaz, lai pārbaudītu aprēķinus, varat izmantot pakalpojumus, kuros viss tika izskaidrots pirms mums. Ja ir nepieciešams automātiski aprēķināt sarežģītu izteiksmi, tad viņi to nedarīs, jums būs jāizmanto nopietnāka programmatūra. Ir vērts pievērst uzmanību galvenokārt MatLab videi.
Pieteikums
Pirmkārt, neapstrīdamu integrāļu atrisināšanaizskatās, ka tas ir pilnīgi atdalīts no realitātes, jo ir grūti saskatīt acīmredzamo piemērošanas plānu. Patiešām, tos nekad nevar izmantot nekur, bet tos uzskata par nepieciešamu starpposmu procesā, kas iegūst praktiski izmantotos risinājumus. Tātad integrācija ir atgriezeniskā diferenciācija, kuras dēļ tā aktīvi piedalās vienādojumu risināšanas procesā.
Savukārt šie vienādojumi irtieša ietekme uz mehānisko problēmu risināšanu, trajektoriju aprēķināšana un siltumvadītspēja - īsumā - viss, kas veido pašreizējo un veido nākotni. Nenoteiktais integrālis, kura piemēri ir apskatīti iepriekš, ir maznozīmīgi tikai no pirmā acu uzmetiena, jo tas ir pamats jauniem un jauniem atklājumiem.
